當(dāng)前位置：曲陽一中>> 教師園地>> 名師風(fēng)采>>正文
有限集和無限集的辨證關(guān)系
2011年01月10日 09:38
來源：高一數(shù)學(xué)組
數(shù)學(xué)中的有限和無限是對現(xiàn)實世界的有限和無限的反映。整個物質(zhì)世界的發(fā)展變化就是有限和無限的統(tǒng)一.
無限性首先就是指物質(zhì)世界的無限性，宇宙的無限性。運動是物質(zhì)的固有屬性，時間和空間是物質(zhì)的存在方式，物質(zhì)世界的無限性就表現(xiàn)為時間的無限持續(xù)和空間的無限廣延。數(shù)學(xué)中的無限性就是這種物質(zhì)世界無限性的反映。
有限則是說一切事物都存在具體的時間和空間之中，因此總是一段時間，有規(guī)模的、有界限的。即一切事物都是具體的事物。數(shù)學(xué)中的有限就反映了這種有限性。
有限和無限是對立的統(tǒng)一，它們既是對立的，有區(qū)別的，又是相互聯(lián)系的。并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)學(xué)中的無限和有限也反映了這一點。例如 ，整數(shù)集是一個無限集合，人們無法得到一個完成了的整數(shù)集。但每個整數(shù)又都是有限的。我們可以得到任意的整數(shù)。任意給出一個數(shù)學(xué)的對象，我們立即就能判定它是否屬于整數(shù)集，這樣看問題，整數(shù)集又是一個完成了的集合，是一個有限的概念。因此整數(shù)集本身就是一個無限和有限的對立統(tǒng)一體。
有限和無限是對立的、有區(qū)別的，有限集合和無限集合的性質(zhì)有質(zhì)的不同。例如一個有限集和它的任何一個真子集都無法建立一一對立關(guān)系，而無限集則可以與它的一個真子集建立一一對應(yīng)關(guān)系。比如，自然數(shù)集和它的一個真子集 偶自然數(shù)集就可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。再如，一個有限的良序數(shù)集，自然數(shù)集的一個有限數(shù)集必然有最大數(shù)和最小數(shù)。但是無限的良序數(shù)集則沒有這種性質(zhì)，實數(shù)集就沒有最大數(shù)也沒有最小數(shù)。
有限和無限又是密切相聯(lián)系著的，沒有有限也就沒有無限，沒有無限也就沒有有限。無限性是不能完全被證明或者說被完全實現(xiàn)的。這并不是因為無限性不存在，而只是因為如果無限性一旦得到完成，得到實現(xiàn)，那它就不再成為無限，而變成有限。但是如果所有的無限都變成有限，無限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的,所以無限是不能完全實現(xiàn)的。
事實上，有限的總和構(gòu)成無限，無限是通過有限而存在的。這種情況在數(shù)學(xué)中也得到反映，比如整數(shù)集是由一個個具體的整數(shù)組成的，而這個集合的無限性就是通過無數(shù)個有限的整數(shù)總和表現(xiàn)出來的。
有限和無限在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化。比如，物質(zhì)是無限可分的，這個“分”的過程就是一個有限和無限互相轉(zhuǎn)化的過程。《莊子·天下篇》所說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”就表達了這一過程。
一尺之棰，日取其半，這就是一個有限向無限轉(zhuǎn)化的過程，就棰的長度來說，分的過程是無限的，無論分得多么小，總是可以取其長度的一半的，這是一個無限的過程。但是，純粹的量的分割是有一個極限的，達到了這個極限它就轉(zhuǎn)化為質(zhì)的差別。作為一定質(zhì)的棰來說，具體的分割又是可“竭”的，即分到一定的關(guān)節(jié)點時，就不能保持“棰”之為棰的質(zhì)了。這個關(guān)節(jié)點就是“分”的一個極限，它標(biāo)志著分的過程從無限到有限的轉(zhuǎn)化。這個關(guān)節(jié)點大約在分到第三十天時達到，這時棰的長度大約是十億分之一尺，已經(jīng)小于分子的數(shù)量級，這時就不再成為其棰了?？梢?，“分”的過程是一個有限和無限，質(zhì)和量的對立統(tǒng)一的過程。
在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常通過極限來實現(xiàn)有限和無限的轉(zhuǎn)化。比如一個收斂的正項級數(shù)之和是由無限項組成的，但是它的極限值卻是一個具體數(shù)值。反過來，在其定義域內(nèi)正弦函數(shù)值是一個具體的數(shù)值。但是它卻展開為無窮項的級數(shù)。再如導(dǎo)數(shù)和積分也是某種特殊的極限，因此，也是有限和無限轉(zhuǎn)化的有力工具，數(shù)學(xué)通過有限和無限轉(zhuǎn)化這一杠桿，可以解決許多實際問題。
