2010年10月04日 09:36
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關(guān)鍵詞： 新課程 高一 數(shù)形結(jié)合

一、“數(shù)形結(jié)合”的重要性

二、新課程背景下的“數(shù)形結(jié)合”

如此重要的數(shù)學(xué)思想自然一直被作為重點(diǎn)貫穿于每位數(shù)學(xué)教師的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)近年來(lái)關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的論文也是數(shù)不勝數(shù)，但其內(nèi)容大多是一些可以用數(shù)形結(jié)合巧解的例題。筆者認(rèn)為在講解練習(xí)時(shí)強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”固然是一種常用的有效的方法，但是也有缺點(diǎn)，就是學(xué)生是否能在老師提示之前自己想到“數(shù)形結(jié)合”的解法，如果不能，需要靠老師的提示完成，那么下次學(xué)生在碰到可以用“數(shù)形結(jié)合”巧解的題目時(shí)，是否還能想到要用“數(shù)形結(jié)合”來(lái)解。如果說(shuō)需要強(qiáng)化多次才能使學(xué)生掌握這種方法的話，那么需要強(qiáng)化幾次強(qiáng)化多久才算夠？在課時(shí)安排非常緊張的高一階段能否抽出大量時(shí)間去單獨(dú)講“數(shù)形結(jié)合”？如果學(xué)生在大量基礎(chǔ)內(nèi)容集中的高一階段沒(méi)有掌握好“數(shù)形結(jié)合”的話，是否會(huì)影響到后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)甚至高考？種種時(shí)間上的限制和教學(xué)策略上的缺憾使得“數(shù)形結(jié)合”這一重要數(shù)學(xué)思想即使只被當(dāng)作一種解題方法都不容易實(shí)現(xiàn)，更別說(shuō)把它提升到一定的理論高度去指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。

“為了每一位學(xué)生的發(fā)展”是新課改的核心理念，作為一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師，筆者對(duì)此的理解是：以學(xué)生為本，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自主獲得更多的知識(shí)和能力。所以，對(duì)于上面提到的問(wèn)題，筆者認(rèn)為：1、數(shù)形結(jié)合必須要講，高一開(kāi)始就要講。2、應(yīng)對(duì)以前的灌輸式教學(xué)作一些調(diào)整，具體策略是在平時(shí)上新課時(shí)就有目的地鋪設(shè)一些細(xì)節(jié)使學(xué)生深入了解“數(shù)形結(jié)合”。這樣做的目的就是讓學(xué)生在老師提示用“數(shù)形結(jié)合”的解法前就自己想到用“數(shù)形結(jié)合”解題。

三、 關(guān)注細(xì)節(jié)，讓學(xué)生主動(dòng)“數(shù)形結(jié)合”

筆者在去年所教的2008屆畢業(yè)班學(xué)生中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍的問(wèn)題：一些能用“數(shù)形結(jié)合”巧解的題目，在自己做題時(shí)卻想不到用“數(shù)形結(jié)合”，等老師提示后才恍然大悟，但下次再碰到卻還是想不到要用“數(shù)形結(jié)合”。筆者認(rèn)為，學(xué)生出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，老師肯定是有責(zé)任的。

問(wèn)題應(yīng)該是出在前面兩年打基礎(chǔ)的時(shí)候。所以這次教新高一時(shí)，在平時(shí)上課中（包括新課和習(xí)題課），有目的地強(qiáng)化了一些細(xì)節(jié)，具體做法如下：

第一步，在新課中“數(shù)”、“形”并進(jìn)，讓學(xué)生見(jiàn)“數(shù)”想到“形”，見(jiàn)“形”不忘“數(shù)”。例如：

在必修1第一章“集合”內(nèi)容中，除了在數(shù)集運(yùn)算中借助于畫(huà)數(shù)軸解決外，還要重視韋恩圖的運(yùn)用。韋恩圖作為集合的第三種表示方法，往往容易被學(xué)生忽略，如果老師上課時(shí)多用用韋恩圖來(lái)處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，學(xué)生就會(huì)感受到問(wèn)題一旦形象化了，運(yùn)算會(huì)很方便。

在必修1第二章“函數(shù)”內(nèi)容中，在解釋指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)這對(duì)反函數(shù)時(shí)，除了像書(shū)本上那樣講之外，再增加一種“形”上的解釋。即把一張畫(huà)了指數(shù)函數(shù)圖像的薄紙翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)從反面去觀察，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)。在這一過(guò)程中（如圖1所示），學(xué)生感受到了 軸和 軸的對(duì)調(diào)，以及互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱的性質(zhì)，更好地理解了反函數(shù)的形成。

      正面                       翻轉(zhuǎn)                           背面

                                （圖1）

    在必修4第一章“三角函數(shù)”內(nèi)容中，多多強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖像的作用，例如在三角函數(shù)值比較大小、求三角函數(shù)最值等題目中，盡量多用畫(huà)圖的方法解決。

在必修4第二章“平面向量”內(nèi)容中，由于向量同時(shí)具有“形”和“數(shù)”兩個(gè)特點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的橋梁，所以向量的題目往往有“數(shù)”和“形”兩種解法。講解例題時(shí)盡量講兩種解法，讓學(xué)生理解：1、向量的有向線段表示法（即作圖法）就是用平面幾何知識(shí)解決向量問(wèn)題，2、向量的坐標(biāo)表示（即線性運(yùn)算和數(shù)量積）可以把幾何問(wèn)題算出來(lái)。

在必修5第二章“數(shù)列”內(nèi)容中，用函數(shù)圖像表示出等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，這樣學(xué)生就能很容易地分辨出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。把等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式畫(huà)成函數(shù)圖像，就能幫助學(xué)生理解等差數(shù)列的 的最值問(wèn)題。

在必修5第三章“不等式”內(nèi)容中，在解一元二次不等式時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖像，著重分析其幾何意義，從圖象上找出題目的答案。

在必修2第二章“立體幾何”內(nèi)容中，在時(shí)間允許且學(xué)生學(xué)有余力的情況下，適當(dāng)介紹建立空間直角坐標(biāo)系后用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的方法，讓學(xué)生體會(huì)到將抽象的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算的妙處。

一句話總結(jié)，就是在學(xué)習(xí)偏“數(shù)”的內(nèi)容時(shí)別讓學(xué)生忘記“形”，在學(xué)習(xí)偏“形”的內(nèi)容時(shí)別讓學(xué)生忘記“數(shù)”。為以后做題時(shí)學(xué)生的主動(dòng)“數(shù)形結(jié)合”打好基礎(chǔ)。

第二步，習(xí)題課中讓“數(shù)”“形”之妙體現(xiàn)出來(lái)。

在講解有關(guān)可以用數(shù)形結(jié)合解題的題目時(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，運(yùn)用分組討論等形式讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的便捷和樂(lè)趣。

還有一類題目也許不能稱之為嚴(yán)格意義上的“數(shù)形結(jié)合”，例如在一些求直線或圓方程的題目中，可以根據(jù)畫(huà)圖得出答案，也可以通過(guò)計(jì)算得到答案。對(duì)于這類題目，筆者認(rèn)為在習(xí)題課上應(yīng)該兩種方法都要顧及，然后讓學(xué)生自己感受兩種方法的各自的優(yōu)點(diǎn)和缺陷，以及如何選擇哪種做法、怎樣彌補(bǔ)自己解法中的缺陷和錯(cuò)誤等等。（板書(shū)結(jié)構(gòu)如圖2所示）

這些做法目的很明確，就是要培養(yǎng)學(xué)生的“主動(dòng)數(shù)形結(jié)合”能力。經(jīng)過(guò)一年時(shí)間的培養(yǎng)，筆者找出去年教高三時(shí)保留的幾份試卷中的5道可用數(shù)形結(jié)合解的題目，對(duì)今年所教班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行測(cè)試分析，得到對(duì)比數(shù)據(jù)如下：

這次的嘗試對(duì)于提高學(xué)生的解題能力是有明顯效果的，但筆者認(rèn)為這樣做的好處更多的是把“數(shù)形結(jié)合”作為一種數(shù)學(xué)思想，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力，而不只是一種解題方法。

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