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Ⅱ、運用數(shù)形結(jié)合思想處理一類對稱問題

2010年10月04日 09:36
來源:本站原創(chuàng)


高一數(shù)學組
    圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某直線對稱求某參數(shù)范圍問題,已經(jīng)有許多文章進行了論述。通常都是用函數(shù)思想、不等式的思想解決的。即引進新參量,建立函數(shù)關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域或構(gòu)造關(guān)于參量的不等式,尋求參量的范圍。通過教學實踐,筆者發(fā)現(xiàn)這類問題不僅可以用上述兩種思想解決,也可以用數(shù)形結(jié)合思想解決。設(shè)想尋求有關(guān)弦中點軌跡,通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍,下面舉幾例加以說明。
例1:已知橢圓C: ,確定m的取值范圍,使C上有不同的兩點A、B關(guān)于直線L:y=4x+m對稱。
解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M(x0,y0)
則有     (1)   (2)
(1)-(2)得     
   A、B關(guān)于L對稱
   KAB = 
  y0 = 6x0
于是以 為斜率的平行弦中點軌跡是直線y=6x在橢圓內(nèi)部的一段,不包括端點。
  與 聯(lián)立得兩交點A1( ),B1( ),
問題轉(zhuǎn)化為L與線段    有交點問題。
由圖形知,當L過A1點時,m最大值為  ,當L過B1點時,m最小值為 - ,
 
例1的解法提供了一種解決此類問題的新思路,而且運算過程簡單,從圖形上可以直觀地看出結(jié)果,真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的作用。那么此種想法是否適合其它曲線呢?回答是肯定的。
例2:曲線C:x-y2-2y=0上存在關(guān)于直線L:y=x+m對稱兩點A、B,求m的取值范圍。
解:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),AB中點M(x0,y0),則有
 - -2 =0        ①
 - -2 =0        ②
①-②得  (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 
由題意知    x1-x20,上式兩端同除x1-x2,得
 
  A,B關(guān)于L對稱
  KAB =  ,y0 =  ,x0 =  - m
于是以-1為斜率的平行弦中點軌跡為直線y = 在拋物線內(nèi)部的一條射線,不包括端點。
將y = 代入拋物線方程得交點P( , ),
問題轉(zhuǎn)化為L與射線y = (x> )有交點。
    將P點坐標代入L方程得m = ,由圖形知,m取值范圍為
由例1、例2可以看出,若直線L斜率已知,則可以轉(zhuǎn)化為L與平行弦中點軌跡相交問題處理,關(guān)鍵是尋求與已知直線垂直的平行弦中點軌跡,然后再利用數(shù)形結(jié)合求參量范圍。那么,這種解法可信度如何呢?我們看看上兩例,例1中當L與A1B1有交點時,此交點恰是與L垂直的弦中點,就保證了該弦兩端點關(guān)于L對稱。所以只要L與平行弦中點軌跡有交點時,就能保證曲線上存在兩點關(guān)于L對稱。
例3、已知橢圓C: ,確定k的范圍,使C上存在不同的兩點A、B關(guān)于直線L: 對稱。
解:設(shè) , , ,
當k=0時, 不符題意,所以 ,
將A、B坐標代入橢圓方程得
 (1)    (2)
(1)-(2)得     即
    
 , 有
 , 又M在L上,
 , ,
于是以 為斜率的弦中點軌跡為 在橢圓內(nèi)部的一段A1B1,如圖,
將 代入橢圓方程得 , 
問題轉(zhuǎn)化為L與線段A1B1有交點,由圖形知
例4、已知L: 能垂直平分曲線C: 某一弦AB,求k范圍。
解:由拋物線對稱性,當k=0時,C上不存在A、B關(guān)于L對稱,所以 ,
設(shè) , , ,
將A、B坐標代入拋物線方程得
   (1)      (2) 
(1)-(2)得  
 ,
 , , ,
又 在L上,
 ,
于是 , ,消k得
  斜率為 的弦中點軌跡為 在拋物線內(nèi)部一段且過(1,1)點,如圖,
而L過定點(1,1)。當L與 相切時得k=-2,由圖形知
例5、曲線C: 上存在關(guān)于L: 對稱的兩點A、B,求k的范圍。
解:當k=0時,L為x軸,由雙曲線對稱性知 k=0不符合題意,
當 時,設(shè) , , ,
將A、B坐標代入雙曲線方程得
 (1)      (2)
(1)-(2)得 ,
 , ,
又  , ,
以 為斜率的弦中點軌跡方程為x=-2,
直線x=-2與雙曲線、漸近線交于點A1,B1,C1,D1,
由雙曲線對稱性可以看出,以 為斜率的弦中點軌跡應(yīng)是線段B1C1和以A1,D1為端點的兩條射線(在x=-2上),
L過定點C(-4 ,0)
 
由圖形知, 時,L與弦中點軌跡有交點,即C上存在兩點A、B關(guān)于L對稱。
所以 
通過以上幾例可以看出,運用數(shù)形結(jié)合思想解決這類問題,可以使運算過程簡化,并具有很強的直觀性,處理此類問題思路簡單。最后筆者想說的是,數(shù)學思想無處不在,只要我們注重挖掘,并能將其運用于解題實踐,這樣將會給我們帶來無窮的樂趣。

 

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