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常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系及解的求法

2010年05月20日 08:40
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定義設(shè) , , k個(gè)常數(shù),且 ,則遞推關(guān)系

                  n k   1         

稱(chēng)為k階常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系。

如果數(shù)列 滿足

          n k

則稱(chēng)數(shù)列 是遞推關(guān)系的一個(gè)解

定理1 任意給出個(gè)常數(shù) ,有且僅有一個(gè)數(shù)列 ,它是遞推

關(guān)系(1)的解,且滿足條件: (該條件稱(chēng)為遞推關(guān)

系(1)的初始條件)

因?yàn)橛袩o(wú)窮多種方法去取k個(gè)常數(shù) ,故由定理1,遞推關(guān)系(1)有無(wú)窮多個(gè)解。但給出了初始條件之后,遞推關(guān)系(1)的解是唯一的。

能表示出遞推關(guān)系(1)全部解的表達(dá)式叫做遞推關(guān)系(1)的通解。

遞推關(guān)系(1)可改寫(xiě)成

定義2 方程

                 2

稱(chēng)為遞推關(guān)系(1)的特征方程,它的根稱(chēng)為遞推關(guān)系(1)的特征根

定理2 設(shè)q是非零復(fù)數(shù),則 是遞推關(guān)系(1)的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)q

是遞推關(guān)系(1)的一個(gè)特征根.

定理3 設(shè)   都是遞推關(guān)系(1)的解,

為任意常數(shù),則 也是遞推關(guān)系(1)的解

定理4 如果遞推關(guān)系(1)的k個(gè)特征根 彼此相異,則

              

是遞推關(guān)系(1)的通解,其中 為任意常數(shù)。

1 已知

         

     求數(shù)列 的通項(xiàng)公式

解:遞推關(guān)系

      

的特征方程為 ,特征根為

,所以

,

其中 為待定常數(shù),由初始條件有

  

解這個(gè)方程組得 ,所以

以上是對(duì)于特征根彼此相異求遞推關(guān)系的解的情況,,下面來(lái)研究一下對(duì)于特征根為重根求遞推關(guān)系解的情況

定理5 設(shè)q是遞推關(guān)系(1)的一個(gè)m(m 0)重特征根,則 都是(1)的解

定理 6 設(shè)遞推關(guān)系(1)有t個(gè)相異的特征根 其中 重根,令

          ,

其中 是任意常數(shù),則遞推關(guān)系(1)的通解為

                 

由以上定理可以知道,解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系的步驟是:求出特征根,寫(xiě)出通解,由初始條件確定通解中的諸常數(shù),最后寫(xiě)出所求的解。

2 解遞推關(guān)系

  

解:所給遞推關(guān)系的特征方程為

特征根為 所以

其中 為待定常數(shù),由初始條件有

解這個(gè)方程組得 ,所以

對(duì)于文中我們?cè)诶?/SPAN>1以及例2中所建立起來(lái)的遞推關(guān)系,我們都可以用上述的特征根法進(jìn)行求解

 

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